GRADO: 3

GRUPO: “F”

ÍNDICE DE LOS TEMAS QUE SE VERÁN:

1.   Teorema de Tales

2.   Sucesiones

3.   Construcción y desarrollo de un cilindro y cono

4.   Funciones Trigonométricas

5.   Medidas de dispersión

6.   Regla del producto

7.   Razón de cambio

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente.

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos.

Primer teorema

Es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales dice que si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. 

Lo que se traduce en la fórmula:

Otra variante del Teorema de Tales.

Si dos rectas cuales quieras se cortan por varias rectas paralelas los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Segundo teorema

Es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Nota: “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad  de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

Nota 2: “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.”

Semicircunferencia.

Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia.

Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro".

GLOSARIO

Semejante: Triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos.

Circuncentros: Los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa.

Semirrecta: Es cada una de las partes en que queda dividida una recta por uno cualquiera de sus puntos.

Ángulos inscritos: Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. 

Circunferencia circunscripta: El punto de corte de las mediatrices de dos lados de un triángulo equidista de los extremos de los tres lados, es decir de los tres vértices del triángulo.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1:

(Primer teorema de Tales)

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.

3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

(Semicircunferencia)

Sea el triángulo BCA (en la figura superior)

Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia), los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB.

Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser recto.

(Segundo teorema de Tales)

Construcción de tangentes (líneas rojas en la figura a la derecha) a una circunferencia k desde un punto P, utilizando el segundo teorema de Tales.

Este segundo teorema (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (Observe la figura).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora).

Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.

Podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio mitad de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces, marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

EJEMPLO 2:

CD = 7 cm, PA = 2 cm, AC = 5 cm, AB =?

Nos piden determinar el trazo Hay que tener cuidado en establecer las razones. Comenzaremos poniendo la razón de:

Y posteriormente la razón de:

Como se muestra en la imagen, hacemos la relación de dos triángulos, por lo que debemos tomar en cuenta todo el trazo para ver cuanto redujo en pocas palabras. Así es como quedan las razones:

Entonces remplazamos las letras: (Para obtener el valor de 7 en el numerador sumamos: 

Ya que necesitamos de la recta completa para poder hacer correcto nuestro cálculo.)

Ahora entonces efectuamos el producto cruzado:

Y resolvemos cambiando de posición letras y números a donde correspondan:

Al dividirlo nos arrojará este resultado:

x = 2

Entonces ya sabemos que:

EJEMPLO 3:

PC = 9 cm, CD = 6 cm, AB = 5 cm, BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.

Ahora entonces vamos a ocupar las razones entre:

Que son los lados del triangulo menor y vamos a establecer la razón con el triángulo mayor:

Quedando entonces:

No se preocupen por como haya quedado las razones, se resolverá de forma sencilla por medio de la multiplicación cruzada:

Cambiamos de posición como anteriormente:

Ese resultado lo colocaremos en la imagen:

Y ahora proseguiremos a buscar “z”, que realmente no es muy difícil ya que solo consta de sumar 

Entonces continuamos con colocarlo en la imagen:

Y por ultimo nos hace falta determinar el trazo 

entonces planteamos que:

Si escogimos el valor total de la recta sobre la pequeña, entonces debemos hacer lo mismo con la derecha:

Quedando entonces:

Efectuamos el producto cruzado:

EJEMPLO 4:

PC = 16 cm, BD = 6 cm, AB = 9 cm, PD = 24 cm. Determine CD y PA.

Primero determinemos 

 nos servirá de guía en las próximas ecuaciones. Si

tiene como valor 24 y 

el valor de 6, entonces en este caso solo es realizar una resta, ver cuánto falta de 6 a 24:

Ahora podemos plantear que:

Ya que es un triángulo debemos tomar el valor total del trazo y hacer la razón con la pequeña. Sustituimos entonces:

Hacemos el producto cruzado:

Solo nos falta entonces determinar el trazo

Entonces establecemos que:

Realizamos el producto cruzado:

EJEMPLO 5:

a = 2 cm, b = 15 cm, c = 20 cm, d =?

L₁//L₂//L₃

Entonces hacemos la razón entre:

Como en las veces anteriores se efectuará el producto cruzado:

EJEMPLO 6:

a = x – 1 cm, b = 4 cm, c = 2x – 4 cm, d = 7 cm. Determina las medidas de “a” y “c”.

L₁//L₂//L₃

Se nos pide determinar las medidas de “a” y “c” y se nos presentó en forma algebraica, por lo que necesitamos determinar el valor de “x” para poder hallar esos valores. Anotamos entonces que:

Luego hacemos la multiplicación cruzada:

Cambiamos de posición las letras y números a donde correspondan:

Como podemos notar, ya hemos encontrado el valor de “x”, entonces nos queda sustituir en las dos ecuaciones esa letra para hallar el valor correcto:

Ya está la primera, ahora vamos con “c”:

EJEMPLO 7:

a = 14 cm, c = 10 cm, b + d = 36 cm. Determina la medida de “b”.

L₁//L₂//L₃

Para hallar el valor vamos a establecer la razón del total de la recta entre la pequeña, así:

Y para la otra razón es solo sumar “a” y “c”, que nos da un resultado de 24:

Entonces las razones quedan así:

Hacemos el producto cruzado:

EJEMPLO 8:

a = 6 cm, a + c = 14 cm, b + d = 18 cm, d =?

L₁//L₂//L₃

Si tenemos que determinar el valor de “d” debemos tomar la razón de la recta mayor sobre la pequeña y lo mismo será en la izquierda, por eso debemos hallar primero el valor de “c” para poder tener la razón correcta entre ambas rectas:

Con esto ya podemos proseguir con las razones:

Producto cruzado:

EJEMPLO 9:

BP = 6 cm, CP = 4 cm, CD = 3 cm, AB =?

Importa mucho la forma en que planteemos las razones, entonces vamos a poner que:

Realizamos el producto cruzado:

EJEMPLO 10:

AP = x + 13 cm, BP = 10 cm, PC = 4 cm, PD = x + 4 cm, AP =?

Vamos a establecer la proporción correspondiente:

Como hasta ahora, realizamos el producto cruzado:

Sustituimos la letra en la ecuación:

EJERCICIOS

EJERCICIO 1:

Las rectas “a”, “b” y “c” son paralelas. Halla la longitud de “x”.

EJERCICIO 2:

Las rectas “a”, “b” son paralelas. ¿Podemos afirmar que “c” es paralela a las rectas “a” y “b”?

EJERCICIO 3:

Hallar las medidas de los segmentos “a” y “b”.

EJERCICIO 4:

 Las rectas “a”, “b” y “c” son paralelas. Hallar la longitud de “x”.

EJERCICIO 5:

Razona si son semejantes los siguientes triángulos:

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

EJERCICIO 6:

Piensa si estos triángulos son semejantes:

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.

EJERCICIO 7:

Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

EJERCICIO 8:

Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

EJERCICIO 9:

Sabiendo que las rectas “r”, “s” y “t” son paralelas, la longitud de “x” es:

EJERCICIO 10:

Sabiendo que el segmento

es paralelo a la base del triángulo, las medidas de los segmentos “a” y “b” son...

La respuesta es la c) porque en primer lugar:

a = 9 cm, basta hacer 15 − 6 = 9.

A continuación aplicamos el teorema de Thales: 

CONCLUSIÓN

Bueno, después de recrear el tema creo que he reforzado MUCHO más el Teorema de Tales. Desde mi sentido me di cuenta que al principio se me dificultaba por que no entendía como se debía realizar las proporciones o razones, no sabía lo que tenía que hacer cuando se me presentaba un problema, a decir verdad lo hacía al azar... pero debo admitir que cuando investigué a información me sirvió, como que iba entendiendo más el concepto, pero aún no era suficiente, necesitaba practicar, por eso mientras iba explorando en distintas páginas iba guardando los URL para mis futuros ejercicios, ya que con los ejemplos me di cuenta que era mejor que fuera explicándolo con algunos detalles, por esa razón transcribí todos los ejemplos de varios videos donde se explicaba perfectamente el cómo resolver un problema, me ayudó bastante, de hecho cuando volví a realizarlo ya sabía cómo desarrollarlo, no se me hizo complicado, de verdad me sirvió mucho hacerlo de esa manera.

En cambio con los ejercicios fue un poco más sencillo, gracias a que guardé los URL no tuve que gastar más tiempo en volver a buscarlos, los leía y luego los pasaba aquí, hubieron algunos que tuve que resolver por mí misma debido a que era como una auto evaluación, que de hecho también me ayudó a profundizar lo aprendido (de nuevo), hasta ahora no tengo queja de lo que sé, tal vez puedo mejorar mi razonamiento mucho más, es emocionante poder entender un tema y resolver los ejercicios que se presenten, es un gran logro.

Hasta ahora entendí perfectamente que importa mucho el orden en que uno establezca las razones, es necesario no tenerle miedo si hay varias letras ya que aun de esa forma se pueda realizar una proporción, luego de eso es mucho más fácil porque solo hay que hacer el producto cruzado, de ahí resulta dar una ecuación la cual es sencilla de  realizar, de verdad creo que aprendido muy bien este tema, espero no tener dificultades próximamente.