Descripción de un cono recto:

El cono es un sólido con los siguientes elementos:

•            Una base, que es el círculo sobre el que se apoya; el círculo de la ilustración tiene un centro en O y un radio r.
• 
  

• Una superficie lateral, que es la cara curva del cono, creada por todos los segmentos que se pueden trazar al unir el punto S con todos los puntos del borde del círculo que forman su base. Estos segmentos se llaman generatrices del cono; todas ellas son de la misma longitud y las identificaremos mediante la letra g.

Por el teorema de Pitágoras la generatriz (hipotenusa del triángulo rectángulo) del cono será igual a:

Entonces si tratamos de buscar el área total de un cono la fórmula es:

• El punto S descansa sobre una línea que pasa por O y es perpendicular al plano del círculo. El punto S se llama vértice del cono y el segmento SO (también llamado h) es la altura del cono. También es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo.

La fórmula para sacar el volumen del cono es la siguiente: 

¿Qué es un cono recto?

Es un cuerpo geométrico formado por dos superficies: una plana y circular, que es la base, y otra curva, llamada superficie lateral. Esta última es generada por la hipotenusa (generatriz) de un triángulo rectángulo cuando se le hace girar en torno a uno de sus catetos. Dado que el cono es un cuerpo que se forma en el espacio al hacer girar o rotar una figura plana, se dice que el cono es un cuerpo de revolución

El cono es creado por la revolución (rotación) del triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. Este es el motivo por el cual la superficie del cono recibe el nombre de superficie de revolución.
Todos los cuerpos geométricos que se pueden crear mediante este proceso se llaman cuerpos de revolución.
No todos los conos tienen superficies generadas por revolución, como él:

• Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base.
• Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.

Desarrollo plano de un cono recto:

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.

El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de 

donde “r” es el radio de la base y “h” es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

 Este es un cono circular recto:

El cono desarrollándose en un plano:

El cono completamente desarrollado en un plano, lo que llamamos desarrollo plano del cono:

Secciones cónicas:

Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: 

•                Circunferencias: Recto a través.
•         Elipses: Con poco ángulo.
•         Parábolas: Paralelo al borde del cono.
•         Hipérbolas: Ángulo elevado.

La ecuación general que cubre todas las secciones cónicas es:

¿Qué es un Cilindro?

Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta, llamada generatriz gira alrededor de otra recta paralela, eje. Otra forma de definirlo es el cuerpo que se genera cuando un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados.

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro.

Elementos del cilindro:

• Eje: El eje de un cilindro es el lado fijo alrededor del que gira el rectángulo.
• Bases: Las bases de un cilindro son aquellos círculos que crean los lados perpendiculares al eje.
• Generatriz: Es el lado que engendra el cilindro, opuesto al eje.
• Altura: La altura de un cilindro es la distancia entre las bases y es igual a la generatriz.

La altura del cilindro será igual a la generatriz: h = g

Desarrollo plano de un cilindro:

Es generado por el  giro de un rectángulo en torno a uno de sus ejes de simetría.

Si “abrimos” un cilindro recto a lo largo de una generatriz, y lo extendemos en un plano, obtenemos dos círculos y una región rectangular. De esta manera se obtiene la red del cilindro recto. La base del rectángulo que forma la superficie lateral tiene la misma longitud que la circunferencia del círculo que forma cada base y la altura coincide con la altura del cilindro.

Áreas y bases:

• Perímetro: Es la línea que limita una figura plana. En el caso del círculo, la fórmula es: 

•         Área de la base (círculo): Son las dos circunferencias que tenemos como bases, para calcular una de ellas la fórmula es:  

•         Área lateral: Superficie de un cuerpo geométrico excluyendo las bases. La fórmula es: 

•         Área total: Superficie completa de la figura, es decir, el área lateral más el área de las bases de la figura. Fórmula:

•         Volumen del cilindro: Para un cilindro circular, su volumen (V) es igual al producto del área del círculo basal por su altura (h). Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula: 

Las superficies cilíndricas pueden ser:

• Superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella.
• Superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.

Cilindro como superficie cuádrica:

Las secciones cónicas son de tres tipos:

Cilindro elíptico: La ecuación de un cilindro elíptico es de la forma:

Cilindro parabólico: En similares condiciones, la ecuación de una superficie parabólica será de la forma:

Cilindro hiperbólico: En similares condiciones, la ecuación de una superficie hiperbólica es de la forma:

GLOSARIO

Curvo: Que constantemente se va apartando de la dirección recta sin formar ángulos o aristas.

Directriz: En geometría la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz).

Equidistan: Hallarse uno o más puntos, lineas, planos o sólidos a la misma distancia entre sí o con respecto a otro u otros.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1:

Imagina que fijamos como eje el lado 

del rectángulo ABCD y lo mantenemos girando 360° con respecto a él. ¿Qué cuerpo forma el rectángulo al girar?

                                                         

Un cilindro debido a que la figura (rectángulo) al girar sobre su propio eje crea dos circunferencias, arriba como abajo, indicando que es la base de un cilindro, además forma su lateral al rotar y de esa forma crea un cuerpo.

EJEMPLO 2:

¿Cuál es el área total de un cilindro si su radio basal mide 10 cm y su altura mide 20 cm?

Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm

Entonces tomando en cuenta estos datos primero busquemos el área de la base: A_b= (π)(r)²  Sustituimos las letras entonces:  A_b= (3.14)(10 cm)²

Resolvemos: A_b= (3.14)(100 cm²) à A_b= 314 cm² Luego de eso lo

multiplicamos por 2 ya que son dos bases: A_b= (314 cm²)(2) Lo que entonces resolviéndolo da como resultado: A_b= 628 cm²

Entonces nos queda buscar el área lateral: A_l= 2(π)(r)(h) Sustituimos letras: A_l= 2(3.14)(10 cm)(20 cm) Y nos queda multiplicar todo: A_l= 1256 cm²

Por último solo nos quedaría sumar los dos valores finales para tener el área total del cilindro:

A_T= A_b + A_l Sustituimos: A_T= 628cm² + 1256cm² Y nos da como resultado: A_T= 1884 cm²

¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?

En este caso solo usamos la fórmula: V = (π)(r)²(h) Sustituimos: V = (3.14)(10 cm)²(20 cm) Multiplicamos:   V = (3.14)(100 cm²)(20 cm) Terminamos con resolverlo: V= 6280 cm³

EJEMPLO 3:

Considera la altura del siguiente rectángulo. Calcula el área, además imagina que gira sobre su propio eje, calcula el volumen del cuerpo formado.

Nos pide primero el área, por lo que ahora usaremos la fórmula del rectángulo que es: b x h

A = b x h 

Nuestros datos son:

Base: 3 cm        Altura: 5 cm

Entonces sustituimos de forma fácil las letras:

A = (3 cm)(5 cm)

A = 15cm²

Tenemos nuestra primera respuesta, ahora hagamos lo siguiente que se pide. Al rotar la figura se formará un cilindro:

Pues no es muy complicado, solo hay que usar la fórmula para sacar el volumen de un cilindro, pero claro, no hay que olvidar que la base del rectángulo es el radio, y como gira se convierte en el diámetro, no vayamos a confundir esos dos datos, ya que diámetro es toda la línea que divide la circunferencia a la mitad y no necesitamos eso.

Entonces usamos la fórmula:

V = (π)(r)²(h)

Entonces sustituimos letras por los valores correctos:

V = (3.14)(3 cm)²(5 cm)

V = (3.14)(9 cm²)(5 cm)

V = 141.3 cm³

EJEMPLO 4:

Seguimos con el círculo ahora. Calcula el área del siguiente círculo y luego imagina que se crea un cono con él, saca entonces también el volumen considerando que la altura es de 16 cm.

Bien iniciemos con el área que no es difícil, la fórmula es: A = (π)(r)²

Entonces tenemos los valores:

π = 3.14            r = 4 cm

Teniendo los datos completos proseguimos a sustituir en la fórmula:

A = (3.14)(4 cm)²

A = (3.14)(16 cm²)

A = 50.24 cm²

Entonces ya tenemos nuestro primer dato, que podríamos considerar como el área de la base del cono, eso nos facilita poder encontrar el volumen del cono deseado:

Nuestra fórmula podemos cambiarla a:

 ya que Ab equivale a: (π)(r)²

Ahora que tenemos clara esta parte continuemos en la búsqueda. Entonces tenemos:

Ab = 50.24 cm²            h = 16 cm              Constante = 3

Así que solo quedaría sustituir:

EJEMPLO 5:

El prisma cuadrangular grande mide 14 cm de arista y tiene un hueco de forma cuadrada que miden 5 cm de cada lado.

Busca cuál es el volumen del prisma cuadrangular sin el hoyo.

Este problema no es muy complicado, se necesita de una resta entre dos volúmenes, el del cuerpo mayor y el del cuerpo menor, por lo tanto iniciemos con el volumen mayor:

Tenemos los datos necesarios, la fórmula es: V = Ab x h

Ab = L x L 

Ab = (10 cm)(10 cm)

Ab = 100 cm²

Bien, ahora lo agregamos a la fórmula del volumen:

V = (100 cm²)(14 cm)

V = 1400 cm³

Tenemos el primero, entonces proseguimos con el siguiente volumen:

V = Ab x h

Ab = L x L

Ab = (5 cm)(5 cm)

Ab = 25 cm²

V = Ab x h

V = (25 cm²)(14 cm)

V = 350 cm³

Ahora solo restamos estas dos cantidades:

V = 1400 cm³ – 350 cm³ 

V = 1050 cm³

EJEMPLO 6:

Si el volumen de un cilindro es 5 m³ ¿Cuánto mide el diámetro de su base, si la altura mide 1 m?

Aquí, en este ejemplo se demostrará como despejar y analizar el problema:

Considerando que la fórmula para el volumen es: V = (π)(r)²(h) Debemos anotar los datos que tenemos:

Volumen = 5 m³        Altura = 1 m        π = 3.14 

Entonces sustituyendo en la fórmula queda así:

5 m³ = (3.14)(r)²(1 m)

Nos falta el radio, entonces para ese tipo de problemas hay que despejar la letra, por eso hay que cambiar de posición:

Ahora solo corresponde resolverla:

Bien ya tenemos el radio, sin embargo se nos pide el diámetro, así que solo tenemos que multiplicarlo por dos ya que la radio es la mitad del diámetro.

d = 2(1.26 m³)

d = 2.52 m³

Si existen dudas se puede comprobar:

EJEMPLO 7:

Se requiere de un cilindro que ocupe un volumen de 2 m³ y el radio de la base sea de 0.5 m.

¿Cuánto deberá tener de altura?

Es como en el ejemplo anterior, tenemos que fijarnos de que datos si tenemos y cual nos falta, después aplicarlos a la fórmula para luego despejar:

 Comprobamos entonces:

EJEMPLO 8:

Calcula el dato que hace falta en el siguiente cono:

Entonces nos pide el volumen, este ya lo hemos visto, solo es usar la fórmula para el cono y así encontraremos la cantidad del cuerpo:

EJEMPLO 9:

Busca el dato que hace falta en el cono:

En este caso tendremos que despejar “h” en la fórmula para el cono:

Comprobamos:

EJEMPLO 10:

Encuentra el valor de “r” en el siguiente cono:

En este problema se nos pide hallar el radio, haremos lo mismo que en los ejemplos pasados, notaremos que tenemos y lo que haga falta es lo que vamos a despejar:

Ahora comprobaremos si es correcto el resultado:

EJERCICIOS

EJERCICIO 1:

Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

EJERCICIO 2:

Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide 125.66 cm. Calcular el área total y volumen:

EJERCICIO 3:

Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?

EJERCICIO 4:

Halla el área lateral en cm² de un cono cuyo lado o generatriz mide 4.75 cm y el radio de la base 5 cm.

EJERCICIO 5:

Un cono tiene de generatriz de doble longitud que el diámetro de la base, cuyo radio mide 25 cm ¿Cuál es el área lateral en cm²?

EJERCICIO 6:

Un cilindro tiene de radio de la base 7 cm y su altura es el doble de diámetro. Halla el volumen en cm³.

EJERCICIO 7:

El diámetro de la base de un cilindro es de 10 m. Halla el área lateral en m² si la altura es el doble de la circunferencia de la base.

EJERCICIO 9:

Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

EJERCICIO 10:

Encuentre el volumen del cilindro mostrado. Redondee al centímetro cúbico más cercano.

Por lo tanto, el volumen del cilindro es de alrededor de 3016 centímetros cúbicos.

CONCLUSIÓN

Este tema no se me complicó nada, digo, lo consideré muy sencillo ya que tenemos viéndolo desde que estamos en primaria, la única diferencia es que se tuvo que hacer más despejes, y también se nos presentaban ejercicios que teníamos que analizar detenidamente.

La información me sirvió para reforzar todo sobre cilindros y conos, se me las fórmulas de volumen, como hallar la generatriz, la altura, el perímetro de un circulo, las áreas laterales como de la base, como sacar el área total del cuerpo. Además me sirvió investigar porque si tenía dudas en las partes que lo conforman, con ello he aprendido los nombres que recibe cada parte, como por ejemplo la base de un cilindro, su altura, radio, generatriz, etc. al igual que la del cono, son similares, no hay pierde.

Los ejemplos me sirvieron bastante, mejoré un poco la rapidez con la que lo resolvía, si se me iban algunas veces las fórmulas, pero hacer 10 ¡te hace recordar todo!, también porque lo iba explicando, mayormente lo agarré de mi libro y examen, era mucho mejor para mí, porque a veces no encuentro como yo quiero los ejemplos y tengo que narrar como se va realizando, esa es otra forma de entender más rápido el tema.

En los ejercicios puedo decir lo mismo, realmente ayudan, solo que costó un poco más de trabajo porque tuve que volver a hacer los ejercicios yo, no es malo, ya que en internet hubo algunos que facilitaron el no hacer más por mi misma, creo que ya los veo fáciles, este tema no se me complicó como otros, es agradable entender y ya dominarlo, aunque no es malo querer superarse.

No tengo duda de lo que sé, pero día a día debo repasarlo para ir mejorando y no tener ningún problema en el futuro, me costó realizar este tema, el título puede ser engañoso, es buscar más a fondo... Aun así da una gran satisfacción el darlo ya por terminado.