¿Qué es una sucesión?

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

Notación.

Posición del término:

Es normal usar x_n para los términos:

• x_n es el término
• n es la posición de ese término

En orden.

Cuando decimos que los términos están "en orden", queremos decir que somos nosotros somos quienes decidimos que orden.  Podría ser adelante, atrás o alternando ¡o el que quieras! (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

La regla.

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Pero un dato importante es que la “regla” debe tener una fórmula para lograr calcular los términos que se nos pidan.

Finita o infinita:

• ·         Es una sucesión infinita si la sucesión sigue para siempre.
• ·         Es una sucesión finita si es lo contrario de la anterior, es decir, si la sucesión no sigue para siempre.

Tipos de sucesiones:

Sucesiones aritméticas:

Es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), ya  que la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Sucesiones geométricas:

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. 

Sucesiones especiales:

Números triangulares:

Esta sucesión se genera a partir de un patrón de puntos que forman un triángulo equilátero.

La regla es: x_n = n(n+1)/2

Números cuadrados:

El número se calcula elevando al cuadrado su posición.

Números cúbicos:

El número se calcula elevando al cubo su posición.

Determinación de una sucesión.

Por el término general:

a_n= 2n-1

a₁= 2 ·1 - 1 = 1

a₂= 2 ·2 - 1 = 3

a₃= 2 ·3 - 1 = 5

a₄= 2 ·4 - 1 = 7

1, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia:

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

2, 4, 16, ...

Sucesión de Fibonacci:

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Operaciones con sucesiones.

Sucesión inversible:

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero.

Cociente de sucesiones:

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Tipos de sucesiones.

Sucesiones estrictamente crecientes:

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes:

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes:

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes:

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones constantes:

Se dice que una sucesión es constante si todos sus términos son iguales, a_n= k.

a_n = a_n+1

5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente:

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.

Sucesiones acotadas superiormente:

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

a_n ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.

Sucesiones acotadas:

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ a_n ≤ K'

Sucesiones convergentes:

        Límite = 1

Sucesiones divergentes:

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes:

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0, 5, 0, 7,...

Sucesiones alternadas:

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos.

Método de diferencia:

Hay ocasiones en las cuales se nos presentará sucesiones con 2 diferencias, y claro, no es sencillo encontrar la regla, por lo que existe un método para encontrar una pauta escondida.

Paso 1: Se representa la sucesión de números (recomendable ordenarlos en una tabla, que “x” sea la posición y “y” sea el número del término).

Paso 2: Se calculan las primeras y segundas diferencias, las cuales la primera diferencia se llama ecuación lineal o primer orden, y la segunda diferencia se denomina ecuación cuadrática o segundo orden.  En caso de haber tercera diferencia en donde se dé el número constante será una ecuación cúbica, esa no se trabajará aquí por el momento.

De ser cuadrática se trata de la expresión general: ax² + bx + c, en la que “x” representa la posición de los términos.

Paso 3: Luego con ayuda del primer término y sus siguientes diferencias, resolveremos unas ecuaciones:

2a =                      3a + b =                       a + b + c =

En la que la segunda diferencia irá como igual en la primera ecuación, después la primera diferencia irá en la segunda ecuación y por último el término irá en la tercera ecuación.

Paso 4: Se resuelve la primera ecuación, al encontrar “a” se sustituye en la segunda ecuación, al encontrar “b” ya tendremos dos valores (“a” y “b”) y sustituirán las letras de la tercera ecuación, entonces ya se busca “c”.

Paso 5: Por último solo queda sustituir las letras encontradas de las ecuaciones en la fórmula general (ax² + bx + c) y de esa manera se habrá encontrado el patrón de la sucesión.

GLOSARIO

Acotada: Sea A un subconjunto no vacío de números reales, se dice que A es acotado inferiormente si existe k que pertenece a los reales tal que k < x o k = x para todo x que pertenece a A. El número k se denomina cota inferior para A pues los números menores que k también son cotas inferiores, lo cual indica que el conjunto de todas las cotas inferiores de A es infinito.

Ínfimo: Sirve para referirse a aquello que en un orden o graduación determinado, se encuentra en la categoría más baja o es el más pequeño. Se utiliza en matemáticas para referirse a la mayor cota inferior del conjunto. En un conjunto, el mínimo es el menor elemento entre todos los que lo conforman y la diferencia está en que el mínimo es un elemento del conjunto, mientras que el ínfimo puede pertenecer o no a dicho conjunto, es decir, que puede estar fuera de él.

Monótona: En matemáticas, una función monótona, es aquella que se da entre conjuntos ordenados y si conserva el orden dado.

Convergentes: Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a A.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1: (Finita e infinita)

2, 4, 6, 8,... Es una sucesión infinita, el primer término es 2 como ley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cada paso.

0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifras numéricas ordenadas alfabéticamente.

1, 2, 3, 4, 5,... Es la sucesión infinita de los números naturales. Es la sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás.

4, 2, 1, 0'5, 0'25,... Es una sucesión infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior.

3, 3, 4, 6, 5, 4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural. 

EJEMPLO 2: (Sucesión aritmética)

Recordemos que la característica principal de este tipo de sucesión es que la diferencia es una constante.

• 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es: x_n = 3n-2

• 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38,...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es: x_n = 5n-2

• Notemos la sucesión: 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…

La diferencia entre cualquier término y el anterior es  3, de modo que el término general sería 3n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, 3(1) + b = 8, y por lo tanto b = 5.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: 3n + 5.

Si queremos encontrar el término 25 de la sucesión, sustituimos 25 en la anterior fórmula:

3(25) + 5 = 80. De modo que el término 25 de la sucesión tiene el valor de 80.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 12 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = 3, b = 5 y n = 12:

•          Notemos la sucesión: –13, –19, –25, –31, –43, –49, –55,…

La diferencia entre cada término y el anterior es -6, de modo que el término general sería –6n + b.

Para encontrar el valor de b podemos utilizar el primer término, en donde n = 1.

De esta forma, –6(1) + b = –13, y por lo tanto b = –7.

Por lo tanto, el término general de la sucesión es: –6n – 7.

Si queremos encontrar el término 16 de la sucesión, sustituimos 16 en la anterior fórmula:

–6(16) – 7 = –103. De modo que el término 16 de la sucesión tiene el valor de –103.

Si queremos encontrar la suma de los primeros 30 términos de esta sucesión, utilizamos la fórmula (1) arriba, con a = –6, b = –7 y n = 30:

EJEMPLO 3: (Sucesiones geométricas)

Recuerden que se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

•          2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es: x_n = 2ⁿ

•          3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187,...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es: x_n = 3ⁿ

•          4, 2, 1, 0.5, 0.25,...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es: x_n = 4 × 2^-n

• El sexto término de una progresión geométrica es 

y la razón   

·         . Hallar el primer término. 

EJEMPLO 4: (Números triangulares)

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Se genera con un patrón de puntos que forma un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla: x_n = n(n+1)/2

EJEMPLO 5: (Números cuadrados)

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,...

Se hace elevando su posición al cuadrado.
El segundo número es 2 al cuadrado (22 o 2×2)
El séptimo número es 7 al cuadrado (72 o 7×7) etc.

EJEMPLO 6: (Números cúbicos)

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,...

El siguiente número se calcula elevando su posición al cubo.
El segundo número es 2 al cubo (23 o 2×2×2)
El séptimo número es 7 al cubo (73 o 7×7×7) etc.

EJEMPLO 7: (Por una ley de recurrencia)

Tenemos la sucesión:

2, 4, 16,...

Recordemos que salen los siguientes términos elevando al cuadrado el número anterior, es decir que si queremos encontrar el término de la posición 4, tendríamos que elevar al cuadrado esta cantidad, que nos da un resultado de 256, entonces esa cantidad se vuelve a elevar al cuadrado para poder sacar la posición 5, y así sucesivamente.

EJEMPLO 8: (Sucesión de Fibonacci)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Esta sucesión, para poder encontrar los términos, se obtienen sumando los dos números anteriores, es decir, si yo quiero encontrar la posición 11, tendría que sumar la posición 9 (34) y a posición 10 (55) que nos da un resultado que es 89, y pasará lo mismo con la posición 12, tendríamos que sumar ahora 55 y el 89 para obtener 144, y así sucesivamente.

EJEMPLO 9: (Método de diferencia)

Tenemos la sucesión: -1, 4, 15, 32, _ , _ , _ , _ , _ , _ ,...

Si nos damos cuenta se nos pide buscar los siguientes términos de esta sucesión, esta ve hablamos de un método de diferencia por lo que la sucesión se denominará “cuadrática”, lo veremos al poner los datos en una tabla, en la cual es recomendable, para posteriormente buscar las primeras y segundas diferencias.

Como podemos observar, existen diferencias que se sacan restando de abajo hacia arriba, ahí indican los nombres con que se le conocen. En la segunda diferencia debe dar una constante, al ser así ya podemos comenzar, aquí solo se hablará de una ecuación cuadrática. Ahora se utilizará el primer término junto a la primera diferencia y segunda diferencia:

Y los colocaremos en las fórmulas que se señalaron en la información, de tal forma que la ultima diferencia quede primero, luego la primera y de ultimo el término:

Proseguimos con resolver la primera:

Ahora el valor de esa letra sustituirá la “a” en  la segunda ecuación:

Lo mismo haremos en la siguiente ecuación pero con esta vez “a” y “b”:

Por último en la ecuación general sustituiremos las letras encontradas (“a”, “b” y “c”) y la “x” será la posición del término que queramos saber:

Comprobemos con una de las posiciones para saber si es la fórmula o regla correcta:

De esa manera ya hemos completado la tabla:

EJEMPLO 10:

Ahora tenemos esta sucesión: 9, 8, 5, 0, -7, -16, _ , _ , _ , _ , _  , _ ,... 

En este caso ya sabemos que debemos acomodarlo todo en una tabla (recomendado), entonces aquí hay que ser un poco más cuidadoso ya que al momento de restar cometemos el error de hacer esto:

-16 – 7

Y es incorrecto ya que se sumarán dando un valor incorrecto al ser signos iguales, no hay que olvidar que el signo del número es cosa de él, y otra diferente el signo que usaremos para restar o sumar, por lo que la manera correcta es:

-16 – (-7)

-16 + 7 = -9

Ya quedando clara esta parte proseguimos a sacar las primeras y segundas diferencias de forma correcta, luego resolvemos las ecuaciones debidamente:

Comenzamos con la primera:

Luego sustituimos en la segunda y resolvemos:

Vamos con la tercera:

Sustituimos en la fórmula general:

ax² + bx + c   à   -x² +2x + 8

Probemos para saber si es correcto:

¡Es correcto! Entonces seguiremos con las siguientes posiciones:

Con ello ya hemos completado la tabla:

EJERCICIOS

EJERCICIO 1:

EJERCICIO 2:

EJERCICIO 3: (Progresión aritmética)

En una progresión aritmética sabes que a₂ = 1 y a₅ = 7. Halla el término general y calcula la suma de los 15 primeros términos.

EJERCICIO 4: (Progresión aritmética)

En una progresión aritmética, el sexto término vale 10.5 y la diferencia es 1.5. Calcula el primer término y la suma de los 9 primeros términos.

EJERCICIO 5: (Sucesión aritmética)

Un estudiante de 3° de ESO se propone el día 1 de septiembre repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio:

•        ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre?
•       ¿Cuántos ejercicios hará en total?

EJERCICIO 6: (Progresión geométrica)

La maquinaria de una fábrica pierde cada año el 20% de su valor. En el momento de su compra valía 40,000 €.

•         ¿Cuánto valía un año después de comprarla? ¿Y dos años después?
•        ¿En cuánto se valorará 10 años después de haberla adquirido?

EJERCICIO 7: (Progresión geométrica)

•           ¿Cuánto dinero tendremos al cabo de 3 años colocando 3,000 € al 6% de interés anual compuesto?
•         ¿Y al cabo de 5 años?

EJERCICIO 8: (Progresión geométrica)

•  ¿En cuánto se convertirán 2,000 € colocados al 5% de interés anual compuesto durante 4 años?
•  ¿Y durante 6 años?

EJERCICIO 9: (Método de diferencia)

¿Qué número continúa?

EJERCICIO 10: (Método de diferencia)

Hallar “x”.

CONCLUSIÓN

Pues después de haber recolectado de nuevo la información, ejemplos y ejercicios, debo recalcar lo que he aprendido del tema, desde un inicio consideré que no sería un tema muy difícil debido a que es segundo grado se nos enseñó los tipos de “progresiones”, que son la aritmética y la geométrica, por lo que me dije que sería algo sencillo más no fácil. Al principio pensaba eso, y si, algunas no eran difíciles hasta que llegaron las ecuaciones cuadráticas de nuevo, no entendía, no comprendía, no buscaba, se me complicaba buscar la regla o fórmula para la sucesión, pero gracias a la información recolectada pude captar mejor de lo que se trataba y como resolverlo, es de hecho fácil, son pasos que no son nada difícil de entender en mi opinión, por supuesto solo leer no era suficiente, así que cuando investigué más a fondo, encontré ejemplos que me sirvieron para entender mucho mejor el tema, desde varios ángulos, es decir, de todos los tipos de sucesiones que investigué, de las finitas e infinitas, de las geométricas y aritmética, incluso de las sucesiones especiales, que por cierto fueron las más sencillas, aunque aún tengo dudas en sus características sobre las acotadas, inferiores,etc. Son cosas que no vimos tanto, hasta ahora no tengo duda sobre lo que leí y se, lo único sería poner en práctica los ejercicios, y repasar ejemplos, admito que me fue difícil buscar ejercicios que yo pudiera analizar y resolver por mí misma, ya que hablaban de las progresiones, y eso es algo que al 100% no vimos, más no fue malo incluirlo, fue recordar lo visto tiempo atrás, en el método sé que no se me olvidará, se identificarlas, solo es por medio de las diferencias, si llega la constante hasta la tercera se que se trata de una sucesión cúbica, que en este tema no se explicó, y si no llega la constante significa que nos es una sucesión, y cosas así ya me he memorizado, aprendido, como se pueda llamar. He entendido el tema, no creo tener problemas en un futuro pero debo mejorar la habilidad en resolverlas, ser mejor.