Puede hacer referencia a diversos resultados de matemáticas relacionados con una multiplicación.

•          La regla del producto es una principio usado para determinar el número de formas en que se puede efectuar una elección que consta de varias etapas.
•          La regla del producto es un método para calcular la derivada de un producto de funciones.

La regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.

Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:

Esta regla puede ser generalizada para la obtención del término de una derivación sucesiva de producto. Sean f y g funciones n-veces diferenciables. La derivada enésima del producto 

La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función.

"Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de la ecuación por el mismo número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente"

En este caso la regla es igual, pero para multiplicar o dividir por un número que sea distinto de cero. Esta regla la utilizamos para "deshacernos" de los números que multiplican a la incógnita y obtener la ecuación equivalente que nos da la solución.

Por ejemplo, dada la ecuación:

3x=21

Aplicando la regla del producto, dividimos por 3 los dos miembros de la igualdad:

x=7

En general si tenéis la ecuación:

nº1·x=nº2

Dividimos por nº1 y obtenemos la solución:

x=nº2/nº1

Ahora bien, siempre aplicad primero la regla de la suma y después la regla del producto, por ejemplo, dada la ecuación:

4x-2=18

 Primero aplicamos la regla de la suma, sumando 2:

4x=20

Y después la regla del producto, dividiendo por 4:

x=5

Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero. 
Para escribir la ecuación necesitamos la razón de cambio entre las ordenadas y las abscisas, o sea, el cociente que relacione la variación vertical con la variación horizontal entre dos puntos de una recta. En una recta, el valor de esta relación no cambia sino que se mantiene constante. Es por ello que se dice que una de las características del modelo lineal es que su razón de cambio es constante.
En nuestro ejemplo, la razón de cambio se expresa así: 

donde Ac es el cambio o variación de costo en un intervalo de tiempo At. Para determinar el valor de la razón de cambio nos ayudaremos con el siguiente esquema:

Fíjate que S es el punto de salida y L es el punto de llegada. Hemos dibujado una línea punteada azul para visualizar la variación del tiempo desde que nos subimos (t₁ es el tiempo inicial) hasta que nos bajamos del taxi (t₂ es el tiempo final); también hemos marcado con una línea punteada rosa la variación de costos para ese periodo (c₁ es el costo inicial, c₂ es el costo final). Observa también que con las líneas punteadas y la recta tiempo-costo se ha generado un triángulo rectángulo.

En este triángulo, la longitud t₂- t₁ es la variación en tiempo, que calculamos como la diferencia de tiempo en minutos desde que tomas el taxi hasta que te bajas de él; geométricamente corresponde al cateto horizontal del triángulo. Por otra parte, la longitud c₂ - c₁ es la variación del costo, calculada como la diferencia entre lo que marca el taxímetro al llegar a tu destino menos lo que marcaba cuando te subiste al taxi. En la gráfica puedes identificar como el cateto vertical del triángulo.

Diferencial:

Se define como un infinitesimal, que es una diferencia entre dos puntos de una misma variable, pero que dicha diferencia es extremadamente pequeña, tanto que tiende a ser cero, se acerca mucho al cero, pero no llega a ser 0: Da tiende a 0.

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Tipos de Medidas de Dispersión:

Rango (amplitud de variación):

Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo en nuestros datos, esta medida de dispersión aunque es la más fácil de obtener,  en lo general es muy poco usada.  Se le suele simbolizar con R.

Formas de división:

•          CUARTILES: permiten dividir un conjunto de datos en 4 partes iguales.

•          DECILES: son muy parecidos a los cuartiles; pero dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales

•          PERCENTILES: también se lo conoce como centil, y permite dividir un conjunto de datos en 100 partes iguales.

Requisitos del rango:

•    Ordenamos los números según su tamaño.
•    Restamos el valor mínimo del valor máximo

Ejemplo:

Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Medio rango o Rango medio:

El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

Ejemplo:

Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

Representación del medio rango:

Varianza:

La varianza está basada en las desviaciones con respecto a la media. Es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de cada observación con respecto de la media. Esta varianza es cero si todas las observaciones son iguales.

Existen dos tipos de varianza:

•          Varianza poblacional: Varianza de toda la población. Es el valor medio de las desviaciones con respecto a la media, elevadas al cuadrado. Su fórmula es:

El proceso para calcular la varianza poblacional es el siguiente:

1. Calcular la media aritmética.
2. Comprobar ٤(X-u) = 0, por cada número se resta la media poblacional y se realiza la sumatoria.
3. Calcular (X-u) ²
4. Obtener varianza.

•          Varianza muestral: varianza de una muestra de la población. Su fórmula es:

La varianza muestral es el valor medio de las desviaciones con respecto a la media, elevadas al cuadrado.

El proceso para calcularla es el siguiente:

1. Calcular X ²
2. Calcular ٤X y ٤ X ²
3. Reemplazar en la fórmula.

Desviación media:

Esta medida de dispersión considera todos los datos, esta definida como el promedio aritmético de los valores absolutos de la desviación de cada valor de la variable con respecto a la media aritmética.

X: Media aritmética de los valores.

X ̅:: Valor de cada observación

n: Número de observaciones en la muestra

| |: Valor absoluto

Desviación:

Es la medida de dispersión más utilizada, también se la conoce como desviación típica, y es la raíz cuadrada de la varianza.

Esta medida pretende conseguir que la medida de dispersión se exprese en las mismas unidades que los datos u observaciones, al igual que la varianza existen dos tipos:

•          Desviación estándar poblacional: Para toda la población o datos, es la raíz cuadrada de la varianza poblacional.
• 
  

•          Desviación estándar muestral: Es un estimado de la desviación estándar poblacional. Es la raíz cuadrada de varianza muestral, su fórmula es:

Se definen comúnmente como el cociente entre 2 lados de un triangulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triangulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Funciones trigonométricas:

Función Seno: La denotaremos por Sen. Nos describe la relación existente entre lado opuesto sobre la hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

Función Coseno: La denotaremos por Cos. Describe la relación entre laso adyacente sobre hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

Función Tangente: La denotaremos por Tan. Esta función nos representa la relación entre lado opuesto sobre lado adyacente. Su simbología es:

También tenemos las  Funciones que son inversas a las anteriores:

Función Cotangente: La denotaremos por Cot. Describe la relación entre lado adyacente sobre lado opuesto:

Función Secante: La denotaremos por Sec. Es la relación entre hipotenusa sobre lado adyacente:

Función Cosecante: La denotaremos por Csc. Nos muestra la relación entre hipotenusa sobre lado opuesto:

NOTA: Las funciones Seno y Cosecante son inversas. También son inversas las funciones Coseno y Secante. Finalmente son inversas las funciones Tangente y Cotangente.

Signos de las funciones trigonométricas:

Con lo anterior, y aplicando las identidades trigonométricas fundamentales, considerando sólo su signo, obtenemos que:

Ángulos:

Definición de las razones trigonométricas de ángulos agudos:

En un triangulo rectángulo se define como Seno de un ángulos agudo al valor obtenido al dividirse la longitud del Cateto Opuesto al ángulo entre la longitud de la Hipotenusa.

Se define como Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo al valor del cociente obtenido al dividir la longitud del Cateto Opuesto entre la longitud del Cateto contiguo.

Sin (B) = AC/BC

Cos (B) = BA/BC

Tan (B) = AC/BA

Definición de las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera:

Las razones trigonométricas se generalizan para ángulos cualesquiera utilizando una circunferencia de radio 1 y cuyo centro está situado en el origen. Los ángulos se miden en sentido anti horario y desde la dirección positiva del eje de abscisas.

Razones de ángulos opuestos:

•          Representamos un ángulo α y su opuesto -α en la circunferencia gonio métrica.
•           El cateto que define el Coseno de ambos ángulos es el mismo.
•           El cateto que define el Seno de ambos ángulos es de la misma longitud pero uno hacia arriba y otro hacia abajo, es decir de distinto signo.

Razones de ángulos suplementarios:

•          Representemos un ángulo α y 180º-α en la circunferencia gonio métrica.
•          El fragmento que le falta a 180º-α para llegar a 180º coincide con α.
•          El cateto que define el seno de ambos ángulos mide lo mismo y tiene la misma orientación, hacia arriba.
•          El cateto que define el coseno de ambos ángulos es de la misma longitud pero uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda, es decir, de distinto signo.

Razones de ángulos que difieren en 180°:

•          Representemos un ángulo α y 180º+α en la circunferencia gonio métrica.
•          El fragmento que le sobra a 180º+α de 180º coincide con α.
•          El cateto que define el seno de ambos ángulos mide lo mismo y tiene distinta orientación, uno hacia arriba y el otro hacia abajo, luego distinto signo.
•          El cateto que define el coseno de ambos ángulos es de la misma longitud pero uno hacia la derecha y otro hacia la izquierda, es decir, de distinto signo.

Razones de ángulos complementarios:

•          Representemos un ángulo α y 90º-α en la circunferencia gonio métrica.
•          El fragmento que falta a 90º-α para llegar a 90º coincide con α.
•          El cateto que define el seno de α coincide ahora en tamaño con el que define el coseno de 90º-α, y tienen el mismo signo.
•          El cateto que define el coseno α coincide ahora en tamaño con el que define el seno de 90º-α, y con el mismo signo.

Razones de ángulos que difieren en 90°:

• Representemos un ángulo α y 90º+α en la circunferencia gonio métrica.
• El fragmento que excede 90º+α de 90º coincide con α, es decir, que si giramos α exactamente 90º se va a superponer con ese fragmento.
• El cateto que define el seno de α coincide ahora en tamaño con el que define el coseno de 90º+α, pero con distinto signo.
• El cateto que define el coseno α coincide ahora en tamaño con el que define el seno de 90º+α, y con el mismo signo.

Razones o relaciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo:

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos:

•          Hipotenusa (h): Es el lado opuesto al ángulo recto, o el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

•          Cateto opuesto (a): Es el lado opuesto al ángulo a.
•          Cateto adyacente (b): Es el lado adyacente al ángulo a.

GLOSARIO

Seno: Perpendicular tirada de uno de los extremos del arco al radio que pasa por el otro extremo.

Cosecante: Tangente del complemento de un ángulo.

 Coseno: Seno del complemente de un ángulo.

Secante: Dícese de las líneas o superficies que cortan a otras líneas o superficiales.

Tangente: Relación entre el seno y coseno de un ángulo.

Cotangente: Recíproca de tangente, es la relación entre cateto adyacente y cateto opuesto. 

Gonio métrica: Es un círculo de unidad o de radio uno.

EJEMPLOS

EJEMPLO 1:

Una persona observa el estallido de un cohete con un ángulo de elevación de 20°. 4 segundos después escucho el sonido estando a 20m de distancia. ¿A qué altura exploto el cohete?

Primeramente, sabemos que el triangulo tiene un ángulo de 90°, otro de 20°, por ende el tercer ángulo mide 70° ¿Por qué?

Ya teniendo el ángulo, usaremos la fórmula para saber la altura. En este caso, usamos la formula de la tangente, pues del triangulo mencionado, vamos a usar los dos catetos, que vendrían siendo el cateto adyacente (20m) y el cateto opuesto (altura) siendo la tangente los 20° que la persona vio de elevación el estallido.

Como Altura está arriba y no puede dividirse por 20m, pasa multiplicando, y queda:

La altura del cohete al explotar fue de 7.27m

¿Cómo transformamos los grados en decimales? En la calculadora hay un modo de sacar en grados con minutos los ángulos, así como pasar de eso a números normales. La forma para convertir de grados a números es:

Oprimir la tecla que diga la función que estas usando, en este caso Tan, luego teclear el grado que quieras convertir y si tiene minutos también. Para eso hay una tecla que tiene esta forma: °’’’

Se usará cuando tecleemos primero el grado, luego se presiona ese botón, y si tiene minutos ponemos el numero y luego de nuevo el botón, para finalizar le das en igual y saldrá el valor, luego mamás lo multiplicas por el otro número, de esa manera es como salió el 7.27.

Sin embargo hay una forma más fácil. En la calculadora le das en el botón de la función que estas usando, oprimes el número que convertirás, luego le das en °’’’ abres paréntesis, pones el número por lo cual multiplicarás, y cierras paréntesis y le das igual.

EJEMPLO 2:

Un hombre deja su carro fuera de un edificio, sube al ultimo piso del edificio que mide 15m de alto y ve su auto con una inclinación de 50° ¿A cuantos metros dejo su automóvil del edificio, y a que distancia se ve desde el edificio?

Para saber la distancia del auto al edificio viéndolo desde arriba, se usa la tangente.

Del auto al edificio son 12.58m de distancia. Ahora veremos la distancia que hay de la persona situada arriba, hasta el auto. Sacaremos el valor de la Hipotenusa. Se puede sacar por 2 métodos ya antes vistos, por el método del Teorema de Pitágoras, o por las funciones trigonométricas del Teorema de Pitágoras. Veré por los 2 métodos.

Función trigonométrica del Teorema de Pitágoras:

Teorema de Pitágoras:

Los dos quedan iguales con 1 decimal de diferencia. Y el triangulo queda:

EJEMPLO 3:

Dado el siguiente Triángulo, encontrar todas las Funciones Trigonométricas en cada caso que se requiera, o las que hacen falta.

1. Primero encontraremos el valor de la  ecuación que nos hace falta, en éste caso, ya que sabemos que la función de  Coseno relaciona Lado Adyacente sobre Hipotenusa, ya conocemos dichos  valores, nos faltaría encontrar Lado Opuesto:

2. Ahora conociendo el  valor que nos hacía falta (b), empezaremos a encontrar cada una de las funciones que hacen  falta:

3.  Teniendo todas la Funciones procedemos a graficar:

1. Resolvemos la fracción mixta:

Multiplicamos 2 x 3 y el resultado  lo sumamos con el 1 dándonos como  resultado 7/2.

2. Ahora encontramos el valor que hace falta:

Sustituimos valores:

3.  Ahora conociendo b, encontramos las funciones correspondientes:

4. Seguidamente graficamos:

EJEMPLO 4:

Encuentra el valor de x.

Necesitas encontrar la longitud del lado adyacente al ángulo de 42°. Se te da la longitud de la hipotenusa. La razón trigonométrica que relaciona el lado adyacente con la hipotenusa es la razón coseno.

El valor de x es aproximadamente 8.2 cm.

EJEMPLO 5:

Encuentra la medida del ángulo opuesto al cateto de 32 pulgadas.

Se te dan las longitudes del lado opuesto al ángulo y la hipotenusa. La razón que relaciona estas longitudes es la razón seno.

La medida del ángulo opuesto al lado de 32 pulgadas es aproximadamente 26°.

EJEMPLO 6:

Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β

 Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente.

Para el ángulo α:

Notamos que solo respetamos sus fórmulas, y no es un ejemplo difícil.

Para el ángulo β:

Lo mismo ha pasado aquí, solo respetamos las fórmulas y por esa razón salieron esos valores.

EJEMPLO 7:

Dado el triángulo ABC rectángulo en B. Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:

8² + 6² = 10²; o sea, es igual a 10 cm

Entonces podemos calcular las razones trigonométricas:

EJEMPLO 8:

Resolver el siguiente triángulo cuando los catetos miden 3 y 4 unidades.

Para obtener la hipotenusa usaremos el teorema de Pitágoras:

Para calcular los ángulos α y β, podemos hacerlo de la siguiente manera:

EJEMPLO 9:

Calcule α, β y a

EJEMPLO 10:

Calcular a, b y a.

EJERCICIOS

EJERCICIO 1:

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

EJERCICIO 2:

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

EJERCICIO 3:

De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

EJERCICIO 4:

Un árbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

EJERCICIO 5:

Un dirigible que está volando a 800 m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?

EJERCICIO 6:

Busca el valor de cateto “a” y calcula las  razones de los lados del siguiente triangulo:

EJERCICIO 7:

Encuentra el valor de hipotenusa y las razones trigonométricas.

EJEMPLO 8:

Encuentra el valor de “a” y posteriormente saca las razones trigonométricas.

EJEMPLO 9:

Busca los datos que hacen falta en la tabla.

EJEMPLO 10:

Busca los datos que hagan falta en la tabla.

CONCLUSIÓN

En este tema me revolví, no entendía nada de lo que investigué al principio, pero se debía a que eran cosas que eran nuevas para mi, jamás había escuchado hablar de razones entre ángulos o lados, por eso se me dificultó aprender las fórmulas y entenderlas, cada uno tiene su funcionamiento, pero algo que no olvidaré es que se trabajará con triángulos rectángulos, ósea, que estos tienen un ángulo de 90°, esa es su característica principal.

Cuando otra vez investigué más profundo, pude analizar mejor los párrafos, y noté un cierto error en el, puedo decir también que las funciones trigonométricas ya no son difíciles para mi, eso creo, pienso que lo he hecho bien hasta ahora, creo que los he resuelto de forma correcta, y se que opciones usar.

Los ejemplos me ayudaron a practicar lentamente como puedo ir resolviéndolos ya que daban una breve explicación, más la información y lo visto en clase, debo decir que me sirvió mucho, aunque esta vez no hice muchos ejemplos propios, la mayoría fue sacado de internet, pero se que le he entendido, después de varias lecturas.

Los ejercicios ya fueron un poco más directos y al momento de leer lo que me pedían, ya tenía idea de que hacer y como, esos fueron sacados de internet, algunos yo los hice porque los tomé de mis apuntes de clases, no son tan difíciles, aunque también pienso que tengo dudas sobre cuando usar las funciones en el momento que se me presenten cualquiera de los dos casos, es decir, es un poco confuso saber en el momento que función usar para un determinado caso, de ahí en fuera todo esta bien con lo aprendido.

A pesar de que no veremos este tema ya siendo adultos, y solo se seguirá llevando en la prepa y universidad, debo admitir que es divertido aprender algo nuevo y saber dominarlo aunque sea un poco, no es malo querer superarse, por eso practicaré un poco más sobre este tema, se que lo aprendí pero mejoraré mi velocidad.